Elemente De Hidrodinamica

Biofizica -  Conf. Dr. Constanta GANEA - Curs 9

ELEMENTE DE HIDRODINAMICĂ

Noţiuni introductive.

Hidrostatica se ocupă cu studiul lichidelor în repaus, iar hidrodinamica cu studiul lichidelor în mişcare. Hidrodinamica - ramură foarte complexă, se studiază modele idealizate. Fluidul ideal este incompresibil şi nu prezintă frecări interne (vâscozitate). Se numeşte linie de curgere traiectoria urmată de un element al unui fluid în mişcare. Curgerea este staţionară dacă orice element care trece printr-un punct dat urmează aceeaşi traiectorie ca şi elementul anterior (viteza în orice punct din spaţiu rămâne constantă în timp chiar dacă nu este constantă în spaţiu). O linie de curent este curba a cărei tangentă în orice punct este în direcţia vitezei fluidului din acel punct (în curgerea staţionară liniile de curent coincid cu liniile de curgere). Un tub de curent este delimitat de toate liniile de curent care trec prin frontiera unui element de suprafaţă (fig.) Punct de stagnare - obstacol care împarte tubul de curent.

Ecuaţia de continuitate.

Considerăm o suprafaţă închisă, fixă, într-un fluid în mişcare. Fluidul intră prin anumite puncte şi iese prin altele. Se defineşte debitul volumic de curgere, Q, ca fiind volumul de fluid care traversează într-o secundă o secţiune a tubului. Viteza de curgere, v, este spaţiul parcurs de un element de fluid în unitatea de timp. Conservarea cantităţii de fluid care se scurge printr-o secţiune a tubului cere ca debitul de curgere Q să fie constant: m = ct, V = ct, Q = ct.

Considerăm un fluid incompresibil, în curgere staţionară şi vom selecta un tub de curent (fig.) având secţiunile transversale fixe S1 şi S2 prin care fluidul curge cu vitezele v1, respectiv v2. Fluidul nu curge prin pereţii laterali. Prin secţiunea S1 va trece în intervalul de timp dt volumul S1v1dt, iar prin secţiunea S2, volumul S2v2dt.

Dar:

Q = ct. = S1v1dt = S2v2dt

De aici:

S1v1 = S2v2

Aceasta se numeşte ecuaţia de continuitate. De aici rezultă pentru fluidul incompresibil în curgere staţionară următoarele concluzii:

- debitul volumic Q are aceeaşi valoare în orice punct

- se respectă ecuaţia de continuitate şi deci viteza fluidului depinde de secţiune

- în zonele îngustate viteza este mai mare decât în cele largi.

Ecuaţia Bernoulli.

Presiunea fluidelor. Un manometru introdus într-un fluid în repaus indică diferite valori ale presiunii în funcţie de adâncimea la care este introdus (fig.) . Presiunea măsurată în acest fel se numeşte presiune efectivă. Într-un punct al fluidului, presiunea efectivă va fi :

pef = p0 + gl

p0 - presiunea atmosferică de deasupra fluidului

 - densitatea fluidului

g - acceleraţia gravitaţională

l - adâncimea coloanei de lichid în punctul considerat

Dacă în fig. se consideră că manometrul este plasat în punctul P se poate scrie:

pef = p0 + g (H-h)

şi dacă se grupează termenii, relaţia devine:

pef + gh = p0 + gH = ct.

Expresia (pef + gh) se numeşte presiune statică şi aceasta are o valoare constantă în orice punct, indiferent de adâncime. Vom introduce acum noţiunea de presiune dinamică. Pentru aceasta vom considera din nou o secţiune a unui tub de curent (fig.). La cele două capete ale tubului de curent presiunile sunt p1 şi p2, iar vitezele fluidului v1 şi v2. Înălţimile la care se află cele două capete în raport cu sistemul de referinţă sunt y1 şi y2, iar densitatea fluidului este . Aplicăm pentru această secţiune relaţia dintre lucru mecanic şi energie. Volumul V care intră la momentul iniţial prin secţiunea S1, va ajunge în intervalul t în secţiunea S2. Din ecuaţia de continuitate:

V = S1l1 = S2 l2

Dar în S1 fluidul exercită forţa p1S1, iar în S2, forţa p2S2, astfel încât lucrul mecanic total efectuat asupra elementului V în timpul deplasării va fi:

L = p1S1l1 - p2S2l2 = (p1 - p2) V

dar L = variaţia energiei totale.

În intervalul de timp t un volum V = S1l1 având masa m = V şi viteza v1 intră în tub cu energia cinetică mv12/2 = V v12/2 şi o masă egală iese cu viteza v2 şi cu energia cinetică V v22/2. Variaţia energiei cinetice Ec va fi:

Ec = V (v22 - v12)/2

Variaţia energiei potenţiale Ep va fi:

Ep = mgy = V g(y2 - y1)

deoarece : L = Ec + Ep , vom avea:

(p1-p2) V = V (v22 - v12)/2 + V g(y2 - y1)

sau :

p1 - p2 =  (v22 - v12)/2 +  g(y2 - y1)

Aceasta relaţie reprezintă ecuaţia lui Bernoulli. Termenul  (v22 - v12) /2 reprezintă presiunea dinamică. Grupând termenii în alt mod, obţinem:

p1 + gy1 + 1/2 v12 = p2 + gy2 + 1/2 v22 = ct.

sau:

p + gy + 1/2 v2 = ct

unde p + gy = presiunea statică, iar 1/2 v2 = presiunea dinamică

Aceasta relaţie arată că presiunea scade pe măsură ce viteza creşte, astfel încât ecuaţia Bernoulli este respectată (fig.)

Vâscozitatea.

În cazul fluidelor reale există forţe de frecare internă. Pentru a face să alunece două straturi de fluid trebuie să se exercite o forţă. În cazul lichidelor această forţă este mai mare decât în cazul gazelor. La curgerea unui lichid printr-un tub se constată că straturile nu se deplasează cu aceeaşi viteză. Stratul de lângă perete nu se mişcă, deci are viteza zero, pe când cel din centrul (mijlocul